等比数列求和公式推导，等比数列求和公式？

投稿用户 • 2023年11月27日 pm6:21 • 范文大全 • 阅读 63

今天整理电脑的时候，偶然发现了一个以前的想法，觉得还挺有意思的，所以想和大家分享一下。这个想法是关于浮力现象和等比数列求和公式的推导。如果你对这个话题不感兴趣，可以选择跳过。

当时的记录如下：

今天我突然发现了一个有趣的物理现象，并将其应用到数学中，总结出了一个新的公式——无穷等比数列的求和公式。

浮力=重力

根据阿基米德原理，当一个物体浸入液体中时，它会受到一个向上的浮力，这个浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。而物体的重力则是由物体的质量和重力加速度决定的。当物体浸入液体中时，如果物体的密度小于液体的密度，那么物体所排开的液体的重量就小于物体的重量，因此物体会受到一个向上的浮力，使得物体部分浮出液体表面。相反，如果物体的密度大于液体的密度，那么物体所排开的液体的重量就大于物体的重量，物体会受到一个向下的浮力，使得物体完全沉入液体中。

所以，当木头扔入水中时，由于木头的密度小于水的密度，木头会受到一个向上的浮力，使得部分木头浮出水面，而另一部分则会沉入水中。这是由于浮力和重力达到平衡的结果。

　　，其中

　　，，于是

　　，即

　　，

开始时，物体体积是V，没入水中的体积为V1，物体在水面以上的体积为V2。如果截去水面以上的部分不要，剩余物体待到重新漂浮在水面，达到稳定后，重新截去水面以上的部分不要，依此重复操作。我们看一看，第n次截去水面以上部分的体积如果记作an的话，an的表达式是什么样子的?

显然，重新稳定后，物体的总体积变为原来的两倍。因此，第二次截去水面以上部分的体积也是第一次截去水面以上部分体积的两倍，依此类推。

根据等比数列的定义，我们可以得知上述内容构成了一个等比数列，其中首项为a。我们知道只要剩余物体的体积不为0，我们就可以一直截取下去。当截取的次数趋于无穷时，剩余物体的体积将趋向于0。同时，截取的总体积也将趋向于a/(1-r)，其中r为公比。根据已知，总体积趋向于a/(1-r)。

因此，我们可以得出无穷等比数列的求和公式：S=a / (1 – q)。

在上述物理现象中，为了使物块能够漂浮在水面上，我们需要满足条件q < 1。

结论一：对于首项为a，公比为r的无穷等比数列，其前n项和的求和公式为Sn=a(1 – r^n)/(1 – r)。

因此，我们可以利用这个公式来推导等比数列的前项求和公式。

　　，其中

　　，于是

　　前n项和．

结论二：对于首项为a，公比为r的等比数列，当|r|<1时，前n项求和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。

如果我们重新构造一个等比数列，令首项为a，公比为r，那么这个数列可以表示为a，ar，ar^2，…。根据结论二，我们已经知道了这个数列的和为a/(1-r)。我们发现这个形式和结论二的形式是一样的。

结论三：对于首项为a，公比为r的等比数列，当n趋于无穷大时，前n项求和的公式为S_n=a / (1 – r)。

以上是根据浮力公式推导出的等比数列求和公式。然而，由于物理现象的局限性，我们只能得到公比的情况，而无法得到其他情况。

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